Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Homomorphisms of some hyperrings

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

สาทิสสัณฐานของไฮเพอร์ริงบางชนิด

Year (A.D.)

2010

Document Type

Thesis

First Advisor

Yupaporn Kemprasit

Faculty/College

Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Degree Name

Doctor of Philosophy

Degree Level

Doctoral Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.2010.1146

Abstract

A homomorphism of a semihypergroup (H, )is a function ƒ : H → H such that ƒ(x ₀ y) ⊆ ƒ(x) ₀ ƒ( fy) for all x, y ϵ H . A homomorphism of a hyperring (A, ⊕, ₀) is a function ƒ : A → A such that ƒ is a homomorphism of both (A, ⊕) and (A, ₀) Denote by Hom (A, ⊕, ₀)the set of all homomorphisms of (A, ⊕, ₀) into itself. If (R, +, .)is a ring and I is an ideal of R, we write (R, +, ₀₁) for the multiplicative hyperring where x₀₁y = xy+I for all x, y ϵ R. The first purpose is to characterize when Hom(ℤ, +, ₀[subscript mℤ) = Hom(ℤ, +) and Hom(ℤ[subscript n], +, ₀[subscript mℤ[subscript n]]) = Hom(ℤ[subscript n], +) hold. We also show that Hom(ℤ, +, ₀[subscript mℤ) is infinite when m > 0, om(ℤ[subscript n], +, ₀ [subscript mℤ[subscript n]])| ≥ 2n/(m,n) when (m, n) > 1 and the equality holds if (m, n) is a prime power. We consider the two Krasner hyperrings (G⁰, ⊕₁, .) and (G⁰, ⊕₂, .) defined from a group (G, .) by G⁰ = G⊍{0}, 0⊕₁0 = {0}, x⊕₁0 = 0⊕₁x = {x}, x⊕₁x = G⁰\{x} for all x ϵ G, x⊕₁y = {x,y} for all distinct x,y ϵ G, 0⊕₂0 = {0}, x⊕₂0 = 0⊕₂x = {x}, x⊕₂x = {x, 0} สำหรับทุก x ϵ G, x⊕₂y = G\{x, y} for all distinct x, y ϵ G and 0.x = x.0 = 0 for all x ϵ G⁰. For the Krasner hyperring (G⁰, ⊕₂, .), the condition that | > 3 must be assumed. The second purpose is to characterize the elements of Hom(G⁰, ⊕₁, .) and Hom (G⁰, ⊕₂, .). The Krasner hyperring (R/ρ, ⊕, *) is considered where (R, +, .) is a commutative ring, x ρ y ⇔ x = y or x = -y, xρ ⊕ yρ = {(x+y)ρ, (x-y)ρ} and xρ*yρ = (xy)ρ for all x,y ϵ R. We characterize the elements of Hom(ℤ/ρ, ⊕, *) and ƒ ϵ Hom (ℤ[subscript n]/ρ, ⊕, *) with ƒ(0ρ) = 0ρ and ƒ(1ρ) = 1ρ. Moreover, the elements of Hom([0,∞), ⊕, .) are characterized where x⊕x = [0,x] for all xϵ[0,∞) and x⊕y = {max{x, y}} for all distinct x,y ϵ [0,∞) Let (R, ⊕[subscript P₁], ๐[subscript P₂]) be the P-hyperring of a ring (R, +, .) induced by nonempty subsets P₁, P₂ of R. The third purpose is to find Hom(ℤ, +)∩Hom(ℤ, ⊕[subscript lℤ], ๐[subscript mℤ]) and determine when Hom(ℤ[subscript n], +) is contained in Hom(ℤ[subscript n], ⊕[subscript lℤ], ๐[subscript mℤn]). The sets Hom(ℤ, ⊕[subscript lℤ], ๐([subscript mℤ])\Hom(ℤ, +) and Hom(ℤ[subscript n], ⊕[subscript lℤ], ๐[subscript mℤn])\Hom(ℤ[subscript n], +) are also shown to be nonempty for certain l, m.

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

สาทิสสัณฐานของกึ่งไฮเพอร์กรุป (H, ₒ) คือ ฟังก์ชัน ƒ : H → H ซึ่ง ƒ(x ₒ y) ⊆ ƒ(x) ₒ ƒ(y) สำหรับทุก x, y ϵ H สาทิสสัณฐานของไฮเพอร์ริง (A, ⊕, ₒ) คือฟังก์ชัน ƒ : A → A ซึ่ง ƒ เป็นสาทิสสัณฐานของทั้ง (A, ⊕) และ (A, ₒ) เราให้สัญลักษณ์ Hom (A, ⊕, ₒ) แทนเซตของสาทิสสัณฐานทั้งหมดของ (A, ⊕, ₒ) ไปยังตัวเอง ถ้า (R, +, .) เป็นริง และ I เป็นไอดีลของ R เราให้ (R, +, ₒ₁) แทนไฮเพอร์ริงการคูณโดยที่ xₒ₁y = xy+I สำหรับทุก x, y ϵ R วัตถุประสงค์แรกคือการให้ลักษณะเฉพาะว่าเมื่อใดที่ Hom(ℤ, +, ₒ[subscript mℤ) = Homℤ, +) และ Hom(Z[subscript n], +, ₒ[subscript mℤ[subscript n]]) = Hom(ℤ[subscript n], +) เป็นจริง เราแสดงด้วยว่า Hom(ℤ, +, ₒ[subscript mℤ) เป็นเซตอนันต์ เมื่อ m > 0, Hom(ℤ[subscript n], +, ₒ [subscript mℤ[subscript n]]) ≥ 2n/(m,n) เมื่อ (m, n) > 1 และการเท่ากันเป็นจริง ถ้า (m, n) เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานเป็นจำนวนเฉพาะ เราพิจารณาคราสเนอร์ไฮเพอร์ริง (G⁰, ⊕₁, .) และ (G⁰, ⊕₂, .) ที่นิยามจากกรุป (G, .) โดย G⁰ = G⊍{0}, 0⊕₁0 = {0}, x⊕₁0 = 0⊕₁x = {x}, x⊕₁x = G⁰\{x} สำหรับทุก x ϵ G, x⊕₁y = {x,y} สำหรับทุก x,y ϵ G ที่แตกต่างกัน 0⊕₂0 = {0}, x⊕₂0 = 0⊕₂x = {x}, x⊕₂x = {x, 0} สำหรับทุก x ϵ G, x⊕₂y = G\{x, y} สำหรับทุก x, y ϵ G ที่แตกต่างกัน และ 0.x = x.0 = 0 สำหรับทุก x ϵ G⁰ เราต้องกำหนดว่า | > 3 สำหรับคราสเนอร์ไฮเพอร์ริง (G⁰, ⊕₂, .) วัตถุประสงค์ที่สองคือการให้ลักษณะเฉพาะของสมาชิกของ Hom(G⁰, ⊕₁, .) และ Hom (G⁰, ⊕₂, .) เราพิจารณาคราสเนอร์ไฮเพอร์ริง (R/ρ, ⊕, *) โดยที่ (R, +, .) เป็นริงสลับที่, x ρ y ก็ต่อเมื่อ x = y หรือ x = -y, xρ ⊕ yρ = {(x+y)ρ, (x-y)ρ} และ xρ*yρ = (xy)ρ สำหรับทุก x,y ϵ R เราให้ลักษณะเฉพาะของสมาชิกของ Hom(Z/ρ, ⊕, *) และสมาชิก ƒ ϵ Hom (Z[subscript n]/ρ, ⊕, *) ซึ่ง ƒ(0ρ) = 0ρ และ ƒ(1ρ) = 1ρ ยิ่งไปกว่านั้น เราให้ลักษณะเฉพาะของสมาชิกของ Hom([0,∞), ⊕, .) โดยที่ x⊕x = [0,x] สำหรับทุก xϵ[0,∞) และ x⊕y = {ค่าสูงสุดของ x และ y} สำหรับทุก x,y ϵ [0,∞) ที่แตกต่างกัน ให้ (R, ⊕[subscript P₁], ๐[subscript P₂]) เป็น P-ไฮเพอร์ริง ของริง (R, +, .) ที่เกิดจากเซตย่อย P₁, P₂ ของ R ที่ไม่เป็นเซตว่าง วัตถุประสงค์ที่สามคือ หา Hom(ℤ, +)∩Hom(ℤ, ⊕[subscript lℤ], ₒ[subscript mℤ]) และบอกว่าเมื่อใด Hom(ℤ[subscript n], +) จึงจะเป็นเซตย่อยของ Hom(ℤ[subscript n], ⊕[subscript lℤ], ₒ[subscript mℤ]) เราแสดงด้วยว่าเซต Hom(ℤ, ⊕[subscript lℤ], ₒ([subscript mℤ])\Hom(ℤ, +) และ Hom(ℤ[subscript n], ⊕[subscript lℤ], ₒ[subscript mℤ])\Hom(ℤ[subscript n], +) ไม่เป็นเซตว่างสำหรับบางค่าของ l, m

Link to Full Text

Share

COinS