Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

จำนวนเชิงการนับของเซตของการเรียงสับเปลี่ยนบนเซตที่มีจุดไม่ตรึง n จุด

Year (A.D.)


Document Type


First Advisor

Pimpen Vejjajiva

Second Advisor

Chulalongkorn University


Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Department (if any)

Department of Mathematics and Computer Science (ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline





In this thesis, we study relationships between |Sn(A)| and |seqn1-1(A)| as well as |seqn(A)| for infinite sets A, where Sn(A) is the set of permutations of A with n non-fixed points and seqn(A) and seqn1-1(A) are the set of sequences and the set of one-to-one sequences of elements of A with length n, respectively, where n is a natural number greater than 1. With the Axiom of Choice (AC), |Sn(A)|, |seqn1-1(A)|, and |seqn(A)| are equal for all infinite sets A. Among our results, we show, in the Zermelo-Fraenkel set theory (ZF), that |Sn(A)|<=|seqn1-1(A)| for any infinite set A under some weak form of AC and the assumption cannot be removed. In the other direction, we show that |seqn1-1(A)|<=|Sn+1(A)| for any infinite set A and the subscript n+1 cannot be reduced to n. Moreover, we also show that "|Sn(A)|<=|Sn+1(A)| for any infinite set A" is not provable in ZF.

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

ในวิทยานิพนธ์นี้เราศึกษาความสัมพันธ์ระหว่าง |Sn(A)| และ |seqn1-1(A)| รวมถึง |seqn(A)| สำหรับเซตอนันต์ A โดยที่ Sn(A) เป็นเซตของการเรียงสับเปลี่ยนบนเซต A ทั้งหมดที่มีจุดไม่ตรึง n จุด seqn(A) และ seqn1-1(A) เป็นเซตของลำดับและเซตของลำดับหนึ่งต่อหนึ่งของสมาชิกใน A ทั้งหมดที่มีความยาว n ตามลำดับ โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 เมื่อมีสัจพจน์การเลือก เราได้ว่า ทั้ง |Sn(A)| |seqn1-1(A)| และ |seqn(A)| เท่ากันสำหรับทุกเซตอนันต์ A เราแสดงในทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคลว่า |Sn(A)|<=|seqn1-1(A)| สำหรับทุกเซตอนันต์ A ภายใต้สัจพจน์การเลือกแบบอ่อนบางสัจพจน์ และข้อสมมตินี้ไม่สามารถเอาออกได้ ในอีกทิศทาง เราได้แสดงว่า |seqn1-1(A)|<=|Sn+1(A)| สำหรับทุกเซตอนันต์ A และดัชนีล่าง n+1 ไม่สามารถลดเป็น n ได้ นอกจากนี้ เราได้แสดงว่า ข้อความ "|Sn(A)|<=|Sn+1(A)| สำหรับทุกเซตอนันต์ A ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคล

Included in

Mathematics Commons



To view the content in your browser, please download Adobe Reader or, alternately,
you may Download the file to your hard drive.

NOTE: The latest versions of Adobe Reader do not support viewing PDF files within Firefox on Mac OS and if you are using a modern (Intel) Mac, there is no official plugin for viewing PDF files within the browser window.