Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Topological vector space over the quaternions

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

เวกเตอร์สเปซเชิงโทโปโลยีบนควอเทอเนียน

Year (A.D.)

1987

Document Type

Thesis

First Advisor

Sidney S. Mitchell

Faculty/College

Graduate School (บัณฑิตวิทยาลัย)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.1987.821

Abstract

Lex X be a vector space over lH. A map ǁ.ǁ : X →ℝ is said to be a paranorm on x if and only if (1) ǁ0 ǁ = 0 (2) For all x ∈ X, ǁ-xǁ= ǁxǁ (3) For all x, y ∈ X, ǁx+yǁ≤ ǁxǁ+ǁyǁ (4) If (tn)n∈ ℕ is a sequence of elements in lH such that t n →t and (xn)n∈ ℕ is a sequence of elements in x such that ǁXn-Xǁ →0 then ǁtn-Xn-txǁ →0 We call (x, ǁ.ǁ) a paranorm space over lH Let x be a vector space over lH. A map ǁ.ǁ : x → ℝ is said to be a seminorm on x if and only if (1) For all x∈ x and t | ∈ ℍ, ǁ tx ǁ= ⃒t⃒‖x‖ (2) For all x, y∈ x | x+y ≤ ‖x‖ + ‖y‖ We call (x, ǁ.ǁ ) a seminorm space over lH. A topological vector space X over lH (T V S (lH)) is a topological space and a vector space over lH such that the vector operations are continuous. Theorem Let (X, p) be a seminormed space over lH. Let f be a linear functional defined only on a vector subspace S of x and such that ⃒f (x)⃒≤ p(x) for all x ∈ s. Then f can be extended to F ∈ x # with ⃒f (x)⃒≤ p(x) for all x∈ x. Theorem Let (x, ǁ.ǁ ₁ ) and (y, ǁ.ǁ ₂ ) be seminormed space over lH and let T: x →Y be a linear map. Then the following are equivalent : (1) T is continuous at some a ∈x (2) T is continuous on X. (3) T is bounded on the unitdisc, i.e. ‖T ‖<∞. (4) There exists an M ∈ ℝ such that ‖T(x)‖₂≤M‖x‖ ₁ for all X ∈X. Theorem Let (X, T) be a first countable T V S (lH). Then there exists a paranorm ǁ.ǁ on X such T = T where T is the topology induced by ǁ.ǁ Theorem Every T V S (lH) is a completely regular topological space. Theorem Let X be a T V S (lH), f∈ x# and assume that ker f is closed. Then f is continuous on X. Theorem (x, ‖.‖ ) be a seminormed space over IH. Then the quotient space of X is also a seminormed space over IH. Theorem Let X be an n-dimensional separated T V S (IH), n < ∞. Then X is linearly homeomorphic with IHⁿ. Theorem Let X be a separated T V S (IH) which has a totally bounded neighborhood U of 0. Then X is finite dimensional. Theorem Let X be a T V S (IH). Then K C X is compact if and only if K is complete and totally bounded. Theorem (Open mapping theorem) Let X, Y be F S (IH)’s and let f : X→Y be linear, continuous and onto. Then f is open. Theorem (Closed graph theorem) Let X, Y be FS (IH)’s. Let f : X→Y be a linear map with a closed graph G. Then f is continuous. Theorem Every basis of a F S (IH) is a Schauder basis. Theorem Let (X, P) be a locally convex space over IH> and f∈s where S is a vector subspace of X. Then there exists an F∈X such that F = f on s. Theorem Let ɸ be a collection of locally convex topologies on a vactor space X over IH. Then f ∈(x, v ɸ ) if and only if there exists T₁, T₂, … T ∈ɸ ; g₁, g₂, …., gn∈X # such that each gi∈ (x,Tᵢ) and f =Σⁿgᵢ₌ ᵢ₌₁

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

ให้ X เป็นเวกเตอร์สเปชบนควอเทอเนียน เราเรียกการส่ง ǁ.ǁ : X → ℝว่า พารานอร์ม บน x ก็ต่อเมื่อ (1) ǁ0 ǁ = 0 (2) สำหรับทุกสมาชิก x ∈ X, ǁ-xǁ= ǁxǁ (3) สำหรับทุกสมาชิก x, y ∈ X, ǁx+yǁ≤ ǁxǁ+ǁyǁ (4) ถ้า (tn)n∈ ℕ เป็นลำดับในควอเทอเนียน ซึ่ง t n →t และ (xn)n∈ ℕ เป็นลำดับใน x ซึ่ง ǁXn-Xǁ →0 แล้วจะได้ว่า ǁtn-Xn-txǁ →0 และเรียก (x, ǁ.ǁ ) ว่า พารานอร์มสเปซบนควอเทอเนียน ให้ x เป็นเวกเตอร์สเปซบนควอเทอเนียน เราเรียกการส่ง ǁ.ǁ : x → ว่า ℝ เซมินอร์ม บน x ก็ต่อเมื่อ (1) สำหรับทุกสมาชิก x∈ x และ t | ∈ℍ, ǁ tx ǁ= ⃒t⃒‖x‖ (2) สำหรับทุกสมาชิก x, y∈ x | x+y ≤ ‖x‖ + ‖y‖ และเรียน (x, ǁ.ǁ ) ว่าเซมินอร์สเปซบนควอเทอเนียน เวกเตอร์สเปซเชิงโทโปโลยี x บนควอเทอเนียน (T V X ()) คือสเปซเชิงโทโปโลยี และเวกเตอร์สเปซบนควอเทอเนียนซึ่งปฏิการเชิงเวกเตอร์ต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ให้ (x, p) เป็นเซมินอร์มสเปซบนควอเทอเนียนและ f เป็นฟังก์ชันนัลเชิงเส้นซึ่งนิยามบนเวกเตอร์สเปซ S ของ x โดยที่ ⃒f (x)⃒≤ p(x) สำหรับทุกสมาชิก x ∈ s ดังนั้น f สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันนัลเชิงเส้น F บน x ซึ่ง ⃒f (x)⃒≤ p(x) สำหรับทุกสมาชิก x∈ x ทฤษฎีบท ให้ (x, ǁ.ǁ ₁ ) และ (y, ǁ.ǁ ₂ ) เป็นเซมินอร์มสเปซบนควอเทอเนียน และให้ T: x →y เป็นการส่งเชิงเส้น ดังนั้นข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน (1) T เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด a ∈x (2) T เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน x (3) T เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบนยูนิดิสก์ นั่นคือ ‖T ‖<∞ (4) จะมีจำนวนจริง M ซึ่งทำให้ ‖T(x)‖₂≤M‖x‖ ₁ สำหรับทุกสมาชิก x∈ x ทฤษฎีบท ให้ (X, T) เป็น T V S (lH) ซึ่งสามารถนับได้แบบที่หนึ่ง ดังนั้นจะมีพารานอร์ม ǁ.ǁ บน X ซึ่ง T = T เมื่อ T คือ โทโปโลยีซึ่งกำหนดโดยพารานอร์ม ǁ.ǁ ทฤษฎีบท ทุก ๆ T V S (H) เป็นสเปซเชิงโทโปโลยีแบบเรกูลาร์อย่างบริบูรณ์ ทฤษฎีบท ให้ X เป็น T V S (lH), f∈ x# และสมมติว่า ker f เป็นเซตปิด ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ให้ (x, ‖.‖ ) เป็นเซมินอร์มสเปซควอเทอเนียน ดังนั้นสเปซผลหารของ x เป็นเซมินอร์มสเปซบนควอเทอเนียน ทฤษฎีบท ให้ x เป็น T V S (lH) ซึ่งสามารถแยกได้และมีมิติเท่ากับ n โดยที่ n < ∞ดังนั้น x โฮมิโอมอร์ฟิกตัวอย่างเชิงเส้นกับ Hⁿ ทฤษฎีบท ให้ x เป็น T V S (lH) ซึ่งสามารถแยกได้และมีย่านใกล้เคียง U ของศูนย์แบบมีขอบเขตโดยสิ้นเชิง ดังนั้น x มีมิติจำกัด ทฤษฎีบท ให้ x เป็น T V S (lH) ดังนั้น K C X เป็นเซตคอมแพกต์ ก็ต่อเมื่อ K เป็นเซตบริบูรณ์และมีขอบเขตโดยสิ้นเชิง ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทการส่งเปิด) ให้ X, Y เป็น F S (lH) และให้ f: X →Y เป็นการส่งเชิงเส้นต่อเนื่องจาก X ไปทั่วถึง Y ดังนั้น f เป็นการส่งเปิด ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทกราฟปิด) ให้ X, Y เป็น F S (lH)และให้ f : X →Y เป็นการส่งเชิงเส้น พร้อมด้วยกราฟปิด G ดังนั้น f เป้นการส่งต่อเนื่องบน X ทฤษฎีบท ให้ X, Y เป็น FS(lH)และให้ f เป็นการส่งจาก X ไปถึง Y แบบเชิงเส้นพร้อมด้วยกราฟปิด ดังนั้น f เป็นการส่งเปิด และต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ให้ X, Y เป็น FS (lH) และให้ f เป็นการส่งจาก X ไปทั่วถึง Y แบบเชิงเส้นพร้อมด้วยกราฟปิด ดังนั้น f เป็นการส่งเปิด และต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ทุก ๆ ฐานของ F S (lH) เป็นฐานชอเดอร์ ทฤษฎีบท ให้ (X, P) เป็นสเปซแบบโลคัลลี่คอนเวกซ์บนควอเทอเนียน และ f ∈s เมื่อ s เป็นเวกเตอร์สับสเปซของ X ดังนั้นจะมี F ∈X ซึ่ง F = f บน S. ทฤษฎีบท ให้ ɸ เป็นกลุ่มของโทโปโลยีบนโลคัลลี่คอนเวกซ์บนเวกเตอร์สเปซ x บนควอเทอเนียน ดังนั้น f ∈(x, vɸ ) ก็ต่อเมื่อ มี T₁, T₂, … T ∈ɸ และ g₁, g₂, …., gn∈X # ซึ่งทุก ๆ gi∈ (x,Tᵢ) และ f =Σⁿgᵢ₌ ᵢ₌₁

Link to Full Text

Share

COinS