Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

การประยุกต์ของแอลทีดีอาร์เอ็มในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของกระบวนการอิโตหนึ่งมิติ

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

APPLICATION OF THE LTDRM IN PARAMETER ESTIMATION OF ONE-DIMENSIONAL ITÔ PROCESS

Year (A.D.)

2013

Document Type

Thesis

First Advisor

คำรณ เมฆฉาย

Second Advisor

เสน่ห์ รุจิวรรณ

Faculty/College

Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Degree Name

วิทยาศาสตรมหาบัณฑิต

Degree Level

ปริญญาโท

Degree Discipline

คณิตศาสตร์

DOI

10.58837/CHULA.THE.2013.813

Abstract

กระบวนการอิโตเป็นกระบวนการที่นิยมนำมาใช้เป็นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ในหลายด้าน เพื่อที่จะประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบค่าของกระบวนการอิโตตามวิธี maximum likelihood นั้นจำเป็นต้องทราบค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะของกระบวนการอิโต โดยแท้จริงแล้วฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะของกระบวนการอิโตเป็นผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย Fokker-Planck ที่มีเงื่อนไขค่าเริ่มต้นเป็นฟังก์ชันแรงดลหนึ่งหน่วย (Dirac delta function) ในงานวิจัยนี้ได้ใช้วิธีการเชิงตัวเลข คือเทคนิคแอลทีดีอาร์เอ็มเพื่อประมาณค่าผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย Fokker-Planck หนึ่งมิติดังกล่าว จุดเด่นของเทคนิคนี้คือการแปลงฟังก์ชันแรงดลหนึ่งหน่วยไปยังปริภูมิลาปลาซแล้วใช้เทคนิคดีอาร์เอ็มเพื่อหาผลเฉลยของสมการที่เป็นผลการแปลงลาปลาซโดยไม่มีการประมาณค่าฟังก์ชันแรงดลหนึ่งหน่วย จากนั้นใช้วิธีการทางตัวเลขในการแปลงลาปลาซผกผัน คือ Stehfest’s algorithm แปลงค่าผลเฉลยที่ได้กลับไปเป็นค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะของกระบวนการอิโต จากการทดสอบกับตัวแบบ OU และ CIR โดยการเปรียบเทียบกับค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะที่แท้จริง ผลการทดสอบแสดงให้เห็นว่า ผลที่ได้จากวิธี LTDRM ให้ค่าประมาณของค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะที่มีความแม่นยำมากและสามารถใช้ค่าประมาณดังกล่าวไปใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่ชื่อว่า maximum likelihood ในกรณีที่ไม่ทราบค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเปลี่ยนสถานะที่แท้จริง

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

Itô processes are processes commonly used as a mathematical model in many fields. In order to estimate the unknown parameters of an Itô process based on the maximum likelihood method, the transitional probability density function (PDF) of the Itô process is needed. In fact, the transitional PDF is the solution of a Fokker-Planck equation subject to an initial condition in which the transitional PDF is set to be coincided with the Dirac delta function at the initial time. In this research, we applied the numerical method called the Laplace transform dual reciprocity method (LTDRM) to approximate the solution of the Fokker-Planck equations, corresponding to a one-dimensional Itô process. The key idea of the LTDRM for solving this type of problems is to transform the Dirac delta function into the Laplace space and then use the dual reciprocity method (DRM) to solve the transformed equation without approximating the Dirac delta function. The Stehfest’s algorithm is used to convert the solutions back into the transitional PDF. We tested and ran experiments on the OU and CIR models by comparing with exact transitional PDF. The tests show that our results using LTDRM give a very accurate approximation and can be used in the maximum likelihood estimation (MLE) when the exact transitional PDF is not known.

Link to Full Text

Share

COinS