Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Relationship between the characters and the elementary symmetric sums of weights

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

ความสัมพันธ์ระหว่างแคแรกเตอร์และผลบวกสมมาตรมูลฐานของน้ำหนัก

Year (A.D.)

2004

Document Type

Thesis

First Advisor

Sajee Pianskool

Faculty/College

Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.2004.1148

Abstract

Let [phi] be a root system, [delta] = {alpha[subscript 1], ..., alpha[subscript n]} a base of [phi], [lambda] the weight lattice of [phi], lambda[subscript 1], ..., lambda[subscript n] fundamental weights, W the Weyl group of [phi], Z[lambda] the group ring of lambda over Z and zeta[lambda][superscript w] the set of elements in Z[lambda] which are invariant under W. For a weight [micro], we define the elementary symmetric sum S(e[superscript micro]) of [micro], the elementary alternating sum A(e[superscript micro]) of [micro] and the character X[subscript micro] of [micro] as follows: S(e[superscript micro]) = [sigma[subscript beta W[subscript micro]] e[superscript beta], A(e[superscript micro]) = [sigma[subscript w W]] det(w)e[superscript w(micro)] และ X[subscript micro] = A(e[superscript micro + delta])/A(e[superscript delta]) respectively, where [delta] is the half sum of all positive roots. Let S = {S(e[superscript lambda[subscript i]]) : 1 [is less than or equal to] i [is less than or equal to] n} and X = {X[lambda[subscript i]] : 1 [is less than or equal to] i [is less than or equal to] n} be the set of elementary symmetric sums of fundamental weights and set of characters of fundamental weights, respectively. It is well-known that both S and X are bases for Z-module Z[lambda][superscript W]. In this research, we are interested in finding relations between elements in the sets S and X in the case of root systems whose Dynkin diagrams are A[subscript n], B[subscript n], C[subscript n], D[subscript n] and G[subscript 2] for appropriate integers n

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

กำหนดให้ [phi] เป็นระบบราก [delta] = {alpha[subscript 1], ..., alpha[subscript n]} เป็นฐานของ [phi] [lambda] เป็นแลตทิชน้ำหนักของ [phi] lambda[subscript 1], ..., lambda[subscript n] เป็นน้ำหนักหลักมูล W คือ กรุปไวล์ของ [phi] zeta[lambda] เป็นกรุปริงของ [lambda] เหนือ zeta และ zeta[lambda][superscript w] เป็นเซตของสมาชิกใน zeta[lambda] ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้ W สำหรับน้ำหนัก [micro] เรานิยามผลบวกสมมาตรมูลฐาน S(e[superscript micro]) ของ [micro] ผลบวกสลับมูลฐาน A(e[micro]) ของ [micro] และ แคแรกเตอร์ X[micro] ของ [micro] ตามลำดับดังนี้ S(e[superscript micro]) = [sigma[subscript beta W[subscript micro]] e[superscript beta], A(e[superscript micro]) = [sigma[subscript w W]] det(w)e[superscript w(micro)] และ X[subscript micro] = A(e[superscript micro + delta])/A(e[superscript delta]) โดยที่ delta คือกึ่งผลรวมของรากบวก กำหนดให้ S = {S(e[superscript lambda[subscript i]]) : 1 [is less than or equal to] i [is less than or equal to] n} และ X = {X[lambda[subscript i]] : 1 [isless than or equal to] i [is less than or equal to] n} เป็นเซตของผลบวกสมมาตรมูลฐานของน้ำหนักหลักมูลและเซตของแคแรกเตอร์ของน้ำหนักหลักมูล ตามลำดับ เป็นที่รู้กันดีว่า ทั้ง S และ X ต่างเป็นฐานสำหรับ Z-โมดูลZ[lambda][superscript W] ในงานวิจัยนี้เราสนใจหาความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกในเซต S และ X ในกรณีของระบบรากที่มีแผนภาพดิงคินเป็น A[subscript n], B[subscript n], C[subscript n], D[subscript n] และ G[subscript 2] เมื่อ n เป็นจำนวนนับที่เหมาะสม

Link to Full Text

Share

COinS