Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Explicit continued fractions related to Fibonacci sequences

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

เศษส่วนต่อเนื่องอย่างชัดแจ้งที่เกี่ยวข้องกับลำดับฟีโบนักชี

Year (A.D.)

2003

Document Type

Thesis

First Advisor

Ajchara Harnchoowong

Second Advisor

Vichian Laohakosol

Faculty/College

Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.2003.1065

Abstract

In 1977, Davison discovered a remarkable class of continued fractions for real numbers representable as sums of reciprocals of powers of 2; these powers being taken from the sequence of the integral parts of multiples of the golden number, a root of the characteristic polynomial of the Fibonacci re-currence sequence. Soon after, Adams and Davison generalized this result by replacing 2 with any integer greater than 1. In 1986, Bowman using a different approach based partly on unique representation of positive integers by sums of integers belonging to the Fibonacci sequence, known as Zeckendorff expansion, generalized Davison's result even further by obtaining explicit continued fractions for numbers representable as quotients of series of the above form. In this thesis, we deal with the problem of generalizing Bowman's results by extending Zeckendorff expansion to expansion via the (h, k)[supscript th] Fi-bonacci sequence introduced by Daykin; the (2,2)-class is that of Fibonacci sequence. Explicit continued fractions are derived for real numbers which are quotients of series of terms whose powers are representable via (h, k)-class expansions.

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

ในปี 1977 เดวิสันค้นพบเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับจำนวนจริงกลุ่มหนึ่งที่แทนได้ด้วยผลบวกของส่วนกลับของกำลังของ 2 โดยที่กำลังมาจากลำดับของภาคจำนวนเต็มของพหุคูณของจำนวนทอง ซึ่งเป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะของลำดับฟีโบนักชี หลังจากนั้นไม่นานอาดัมและเดวิสันได้ขยายผลนี้โดยแทน 2 ด้วยจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ในปี 1986 บาวแมนใช้วิธีแตกต่างออกไปโดยส่วนหนึ่งอาศัยการที่จำนวนเต็มบวกสามารถเขียนเป็นผลบวกของพจน์ในลำดับฟีโบนักชี ซึ่งรู้จักกันในนามของการกระจายเซคเคนดอร์ฟขยายผลของเดวิสันออกไปหารูปแบบเศษส่วนต่อเนื่องอย่างชัดแจ้งของจำนวนที่แทนได้ด้วยเศษส่วนของอนุกรมในรูปแบบข้างต้น ในวิทยานิพนธ์นี้ เราจะศึกษาปัญหาของการขยายผลงานของบาวแมนโดยการขยายการกระจายเซคเคนดอร์ฟไปสู่การกระจายโดยใช้ลำดับ (h,k) ฟีโบนักชีของเดย์คิน โดยที่ลำดับ(2,2) ฟีโบนักชีคือลำดับฟีโบนักชีเดิม เราสามารถหาเศษส่วนต่อเนื่องอย่างชัดแจ้งสำหรับจำนวนจริงซึ่งอยู่ในรูปเศษส่วนของอนุกรมของเทอมซึ่งกำลังสามารถกระจายได้ในรูปลำดับ(h,k)

Link to Full Text

Share

COinS