Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Transformation semigroups and matrix semigroups having proper dense subsemigroups

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

เซมิกรูปของการแปลง และเซมิกรูปของเมตริกซ์ซึ่งมีเซมิกรูปย่อยแท้ที่หนาแน่น

Year (A.D.)

1989

Document Type

Thesis

First Advisor

Yupaporn Kemprasit

Faculty/College

Graduate School (บัณฑิตวิทยาลัย)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.1989.805

Abstract

For any set X, let Gₓ, Mₓ, Oₓ, CPₓ and CTₓ denote the symmetric group on X, the transformation semigroup of all 1-1 transformations of X, the transformation seigroup of all onto transformations of X, the transformation semigroup of all constant transformations of X, respectively. For any field F and any positive integer n, lt Mn(F), Gn(F), Un(F), Ln(F) and Dn(F) dnote the matrix semigroup of all n x n matrices over F, the matrix group of all n x n nonsingular matrices over F, the matrix semigroup of all n x n upper triangular matrices over F, the matrix semigroup of all n x n lower triangular matrices over F and the matrix semigroup of all n x n diagonal matrices over F, respectively. The main results of this research are Theorem 1. Let X be a set. (1) If S = Gₓ, Mₓ or Oₓ, then S has a proper dense subsemigroup if and only if X is infinite. (2) CPₓ has a proper dense subsemigroup if and only if |X| > 1. (3) CTₓ has no proper dense subsemigroup. Theorem 2. Let F = (F,+,•) be a field n a positive integer and let S = Mn(F), Gn(F), Un(F), Ln(F) or Dn(F). (1) If (F,•) has a proper dense subsemigroup, then so does S. (2) If S has a proper dense subsemigroup, then F is infinite.

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

สำหรับเซต X ใด ๆ ให้ Gₓ, Mₓ, Oₓ, CPₓ และ CTₓ แทนกรุปสมมาตรบนเซต X เซมิกรุปของการแปลงหนึ่งต่อหนึ่งของเซต X ทั้งหมด เซมิกรุปของการแปลงแบบทั่วถึงของเซต X ทั้งหมด เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนแบบคงตัวของเซต X ทั้งหมด และเซมิกรุปของการแปลงแบบคงตัวของเซต X ทั้งหมด ตามลำดับ สำหรับฟิลด์ F และจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ ให้ Mn(F), Gn(F), Un(F), Ln(F) และ Dn(F) แทนเซมิกรุปของเมตริกซ์ขนาด n x n บนฟิลด์ F ทั้งหมด กรุปของเมตริกซ์ที่เป็นนอนซิงกูลาร์ขนาด n x n บนฟิลด์ F ทั้งหมด เซมิกรุปของเมตริกซ์ที่เป็นสามเหลี่ยมบนขนาด n x n บนฟิลด์ F ทั้งหมด เซมิกรุปของเมตริกซ์ที่เป็นสามเหลี่ยมล่างขนาด n x n บนฟิลด์ F ทั้งหมด และเซมิกรุปของเมตริกซ์ทแยงมุมขนาด n x n บนฟิลด์ F ทั้งหมด ตามลำดับ ผลสำคัญของการวิจัยมีดังนี้ ทฤษฎีบท 1 ให้ X เป็นเซตใด ๆ (1) ถ้า S = Gₓ, Mₓ หรือ Oₓ แล้ว S มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น เมื่อและต่อเมื่อ X เป็นเซตอนันต์ (2) CPₓ มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น เมื่อและต่อเมื่อ |X| > 1 (3) CTₓ ไม่มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น ทฤษฎีบท 2 ให้ F = (F,+,•) เป็นฟิลด์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ และให้ S = Mn(F), Gn(F), Un(F), Ln(F) หรือ Dn(F) (1) ถ้า (F,•) มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่น แล้ว S จะมีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นด้วย (2) ถ้า S มีเซมิกรุปย่อยแท้ที่หนาแน่นแล้ว F เป็นฟิลด์อนันต์

Link to Full Text

Share

COinS