Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

เมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนแบบบรรทัดฐานและสเปกตรัม

Year (A.D.)

2019

Document Type

Thesis

First Advisor

Pongdate Montagantirud

Faculty/College

Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Department (if any)

Department of Mathematics and Computer Science (ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.2019.337

Abstract

Let �� be a simplicial complex, ��[ Subscript ��] ∶ ��[ Subscript ��] → ��[ Subscript ��−1] a boundary map on �� and ��[ Subscript ��] a matrix representation of ��[ Subscript ��]. A Hodge ��-Laplacian matrix on simplicial complexes is defined by ��[ Subscript ��]= ����+1���� ��+1 + ���� �� ���� which is a generalization of a Laplacian matrix �� on graphs. In this work, we study a Hodge ��-Laplacian matrix and then generalize a normalized Laplacian matrix ℒ on graphs to a normalized Hodge ��- Laplacian matrix ℒ[ Subscript ��] (i.e. ℒ[ Subscript 0]= ℒ) on simplicial complexes. This matrix is also a Hodge Laplacian matrix and this fact leads some useful properties. We also obtain that the smallest eigenvalue of a normalized Hodge ��-Laplacian indicates whether the homology (or cohomology) on a given simplicial complex is trivial. We demonstrate eigenvalues of ℒ[ Subscript ��] for some special cases and study a relation between its eigenvalues and ��-wedge sum of simplices. We finally apply this matrix for random walks on simplicial complexes.

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

ให้�� เป็นซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ ให้ ��ₖ ∶ ��ₖ → ��ₖ₋₁ เป็นการส่งขอบเขต และ ��ₖ เป็นเมทริกซ์ตัวแทนของ ��ₖ เมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนที่ �� บนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นิยาม โดย ��ₖ = ����+1���� ��+1 + ���� �� ���� เป็นนัยทั่วไปของเมทริกซ์ลาปลาเชียน �� บนกราฟ ในงาน วิจัยนี้ ผู้วิจัยศึกษาเมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนดังกล่าว จากนั้นจึงวางนัยทั่วไปบนเมทริกซ์ลาปลาเชียนแบบบรรทัดฐาน ℒ บนกราฟให้เป็นเมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนแบบบรรทัดฐานที่ �� (แทน ด้วยสัญลักษณ์ ℒₖ ) บนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ นั่นคือ ℒ₀ = ℒ เมทริกซ์ที่นิยามขึ้นมีสมบัติ เป็นเมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียน ทำให้ได้สมบัติบางประการของเมทริกซ์ที่เป็นประโยชน์และค่าลักษณะเฉพาะตัวที่น้อยที่สุดของเมทริกซ์นี้สามารถบอกได้ว่าฮอมอโลยีและฮอมอโลยีร่วมของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ เป็นศูนย์หรือไม่ ผู้วิจัยแสดงควาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ℒₖ สำหรับบาง กรณีเฉพาะ และศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กับผลรวมเวดจ์ของซิมเพล็กซ์ นอกจากนี้ ผู้วิจัยยังนำเมทริกซ์ที่นิยามขึ้นไปประยุกต์เกี่ยวกับแนวเดินแบบสุ่มบนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์

Included in

Mathematics Commons

Share

COinS
 
 

To view the content in your browser, please download Adobe Reader or, alternately,
you may Download the file to your hard drive.

NOTE: The latest versions of Adobe Reader do not support viewing PDF files within Firefox on Mac OS and if you are using a modern (Intel) Mac, there is no official plugin for viewing PDF files within the browser window.