Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)


Year (A.D.)


Document Type


First Advisor

Pongdate Montagantirud


Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Department (if any)

Department of Mathematics and Computer Science (ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline





Let �� be a simplicial complex, ��[ Subscript ��] ∶ ��[ Subscript ��] → ��[ Subscript ��−1] a boundary map on �� and ��[ Subscript ��] a matrix representation of ��[ Subscript ��]. A Hodge ��-Laplacian matrix on simplicial complexes is defined by ��[ Subscript ��]= ����+1���� ��+1 + ���� �� ���� which is a generalization of a Laplacian matrix �� on graphs. In this work, we study a Hodge ��-Laplacian matrix and then generalize a normalized Laplacian matrix ℒ on graphs to a normalized Hodge ��- Laplacian matrix ℒ[ Subscript ��] (i.e. ℒ[ Subscript 0]= ℒ) on simplicial complexes. This matrix is also a Hodge Laplacian matrix and this fact leads some useful properties. We also obtain that the smallest eigenvalue of a normalized Hodge ��-Laplacian indicates whether the homology (or cohomology) on a given simplicial complex is trivial. We demonstrate eigenvalues of ℒ[ Subscript ��] for some special cases and study a relation between its eigenvalues and ��-wedge sum of simplices. We finally apply this matrix for random walks on simplicial complexes.

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

ให้�� เป็นซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ ให้ ��ₖ ∶ ��ₖ → ��ₖ₋₁ เป็นการส่งขอบเขต และ ��ₖ เป็นเมทริกซ์ตัวแทนของ ��ₖ เมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนที่ �� บนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นิยาม โดย ��ₖ = ����+1���� ��+1 + ���� �� ���� เป็นนัยทั่วไปของเมทริกซ์ลาปลาเชียน �� บนกราฟ ในงาน วิจัยนี้ ผู้วิจัยศึกษาเมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนดังกล่าว จากนั้นจึงวางนัยทั่วไปบนเมทริกซ์ลาปลาเชียนแบบบรรทัดฐาน ℒ บนกราฟให้เป็นเมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียนแบบบรรทัดฐานที่ �� (แทน ด้วยสัญลักษณ์ ℒₖ ) บนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ นั่นคือ ℒ₀ = ℒ เมทริกซ์ที่นิยามขึ้นมีสมบัติ เป็นเมทริกซ์ฮอดจ์ลาปลาเชียน ทำให้ได้สมบัติบางประการของเมทริกซ์ที่เป็นประโยชน์และค่าลักษณะเฉพาะตัวที่น้อยที่สุดของเมทริกซ์นี้สามารถบอกได้ว่าฮอมอโลยีและฮอมอโลยีร่วมของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ เป็นศูนย์หรือไม่ ผู้วิจัยแสดงควาลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ℒₖ สำหรับบาง กรณีเฉพาะ และศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์กับผลรวมเวดจ์ของซิมเพล็กซ์ นอกจากนี้ ผู้วิจัยยังนำเมทริกซ์ที่นิยามขึ้นไปประยุกต์เกี่ยวกับแนวเดินแบบสุ่มบนซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์

Included in

Mathematics Commons



To view the content in your browser, please download Adobe Reader or, alternately,
you may Download the file to your hard drive.

NOTE: The latest versions of Adobe Reader do not support viewing PDF files within Firefox on Mac OS and if you are using a modern (Intel) Mac, there is no official plugin for viewing PDF files within the browser window.