Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Cohen-Egyptian fraction and engel series expansions

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

การกระจายอนุกรมแบบเศษส่วนอียิปต์ของโคเฮนและแบบเองเกล

Year (A.D.)

2009

Document Type

Thesis

First Advisor

Tuangrat Chaichana

Faculty/College

Faculty of Science (คณะวิทยาศาสตร์)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.2009.1201

Abstract

It was shown in the book written by Perron in 1951 that each nonzero real number can be uniquely written as an Engel series expansion. This series expansion represents a nonzero rational number if and only if each digit in such expansion is identical from certain point onward. In 1973, Cohen devised an algorithm to uniquely represent each nonzero real number as a sum of Egyptian fractions, which we refer to as its Cohen-Egyptian fraction expansion. Cohen also characterized the real rational numbers as those with finite Cohen-Egyptian fraction expansions. In this thesis, we extend their work to three complete fields with respect to discrete non-archimedean valuations, namely, the p-adic number field and two kinds of function fields (the one completed with respect to the degree valuation and the one completed with respect to a prime-adic valuation). We present algorithms for constructing these two types of series representations of elements in these fields and establish rationality criteria through the use of these expansions. In the last part, we analyze the relationship between these two expansions in all felds involved

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

ในปี ค.ศ. 1951 เพอร์รองได้เขียนในหนังสือของเขาว่าจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ สามารถเขียนแทนด้วยการกระจายอนุกรมแบบเองเกลและเขียนได้หนึ่งเดียว การกระจายอนุกรมนี้จะแทนจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์ ก็ต่อเมื่อ ตัวเลขหนึ่งที่ปรากฏในตัวส่วน ณ ตำแหน่งหนึ่งเป็นต้นไปมีค่าเท่ากัน ในปี ค.ศ. 1973 โคเฮนได้สร้างขั้นตอนวิธีเพื่อเขียนแทนจำนวนจริงที่ไม่ใช่ศูนย์ ด้วยผลรวมของเศษส่วนอียิปต์และเขียนได้หนึ่งเดียว ซึ่งเราขอเรียกว่า การกระจายอนุกรมแบบเศษส่วนอียิปต์ของโคเฮน และโคเฮนได้ให้ลักษณะเฉพาะของจำนวนตรรกยะว่าเป็นจำนวนที่มีการกระจายอนุกรมแบบเศษส่วนอียิปต์ของโคเฮนเป็นอนุกรมจำกัด ในวิทยานิพนธ์ฉบับนี้ เราได้ขยายงานดังกล่าวในฟีลด์บริบูรณ์เทียบกับแวลูเอชันแบบนอน-อาร์คีมีเดียนและวิยุต ได้แก่ ฟีลด์ของจำนวนพี-แอดิก และ ฟีลด์ฟังก์ชันสองฟีลด์ คือ ฟีลด์บริบูรณ์เทียบกับแวลูเอชันดีกรี และฟีลด์บริบูรณ์เทียบกับแวลูเอชันไพร์มแอดิก เราแสดงขั้นตอนวิธีการสำหรับการเขียนแทนสมาชิกในฟีลด์บริบูรณ์เหล่านี้ด้วยการกระจายอนุกรมข้างต้น นอกจากนี้เรายังสร้างและพิสูจน์เกณฑ์การตรวจสอบความเป็นตรรกยะโดยใช้การกระจายเหล่านี้ ในส่วนสุดท้ายเราวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างการกระจายอนุกรมทั้งสองแบบในทุกฟีลด์ที่เกี่ยวข้อง

Link to Full Text

Share

COinS