Chulalongkorn University Theses and Dissertations (Chula ETD)

Semingroups admitting the structure of additively commutative seminring with zero

Other Title (Parallel Title in Other Language of ETD)

เซมิกรุปที่ทำให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวก และมีศูนย์

Year (A.D.)

1985

Document Type

Thesis

First Advisor

Yupaporn Kemprasit

Faculty/College

Graduate School (บัณฑิตวิทยาลัย)

Degree Name

Master of Science

Degree Level

Master's Degree

Degree Discipline

Mathematics

DOI

10.58837/CHULA.THE.1985.752

Abstract

เรากล่าวว่าเซมิกรุป S ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ถ้ามีโอเปอเรชัน + บนเซมิกรุป S⁰ที่ทำให้ (S⁰, +, ) เป็นเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวก และมีศูนย์ เมื่อ  เป็นโอเปอเรชันบน S⁰, S⁰ = S ถ้า S มีศูนย์ และในกรณีที่ S ไม่มีศูนย์ ให้ S⁰ คือ S ผนวกกับศูนย์ มีจุดประสงค์หลัก 2 ประการในวิทยานิพนธ์นี้ จุดประสงค์หลักประการแรกคือ บอกลักษณะของเซมิกรุปของการแปลงซึ่งรู้จักกันอย่างแพร่หลายที่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ จุดประสงค์หลักอีกประการหนึ่งคือ ให้ลักษณะของเซมิกรุปที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณทั้งหมดที่ให้โครงสร้างดังกล่าว เราได้ผลที่สำคัญดังนี้ ทฤษฎีบท 1 ถ้า X เป็นเซตใดๆ และ S เป็นเซมิกรุปของการแปลงแบบหนึ่งแบบใดดังต่อไปนี้ (i) กรุปสมมาตรบน X (ii) เซมิกรุปของการแปลงแบบ 1-1 ของ X ทั้งหมด (iii) เซมิกรุปของการแปลงแบบทั่วถึงของ X ทั้งหมดแล้ว S ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ IXI ≤ 2 ทฤษฎีบท 2 เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนของเซต X ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ IXI ≤ 1 ทฤษฎีบท 3 เซมิกรุปของการแปลงเต็มบนเซต X ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 4 เซมิกรุปผกผันสมมาตรบนเซต X ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 5 สำหรับเซต X ใดๆ เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนที่เกือบเป็นเอกลักษณ์ของ X ทั้งหมดให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 6 สำหรับเซต X ใดๆ เซมิกรุปของการแปลงที่เกือบเป็นเอกลักษณ์ของ X ทั้งหมดให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 7 สำหรับเซต X ใดๆ เซมิกรุปของการแปลงบางส่วนแบบ 1-1 ที่เกือบเป็นเอกลักษณ์ของ X ทั้งหมดให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ lXl ≤ 1 ทฤษฎีบท 8 ถ้า S เป็นเซมิกรุปที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณ แล้ว S ให้โครงสร้างของเซเมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ เมื่อและต่อเมื่อ S เป็นช่วงหนึ่งจากช่วงต่อไปนี้ R | {0} | {1} | (0, ∞) | [0, ∞) (a, ∞) | [a, ∞) โดยที่a ≥1 (0,b) | (0,b] | [0,b) | [0,b] โดยที่ 0 < b ≤ 1 ทฤษฎีบท 8 นี้ ได้จากทฤษฎีบทประกอบต่อไปนี้ ทฤษฎีบทประกอบ 1 เชตย่อย S ใดๆ ของ IR เป็นเซมิกรุปที่เป็นช่วงใน IR เมื่อและต่อเมื่อ S เป็นช่วงหนึ่งจากช่วงต่อไปนี้ (1) IR (2) {0} (3) {1} (4) (0, ∞) (5) [0, ∞)(6) (a, ∞) โดยที่ a ≥ 1 (7) [a, ∞) โดยที่ a ≥ 1 (8) (0,b) โดยที่ 0 < b ≤ 1 (9) (0,b] โดยที่ 0 < b ≤ 1 (10) [0,b) โดยที่ 0 < b ≤ 1 (11) [0,b] โดยที่ 0 < b ≤ 1 (12) (a,b) โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 (13) (a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 (14) [a,b) โดยที่ -1 < a < 0 < a² < b ≤ 1 (15) [a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 ทฤษฎีบทประกอบ 2 ทุกเซมิกรุปของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบภายใต้การคูณ ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ใต้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ทฤษฎีบทประกอบ 3 เซมิกรุปใดๆ ที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณซึ่งอยู่ในรูปแบบ [a,1] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ 1 ไม่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ทฤษฎีบทประกอบ 4 เซมิกรุปใดๆ ที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณซึ่งอยู่ในรูปแบบ [a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 ไม่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์ ทฤษฎีบทประกอบ 5 ถ้า S เป็นเซมิกรุปใดๆ ที่เป็นช่วงใน IR ภายใต้การคูณซึ่งมีรูปแบบเป็นแบบใดแบบหนึ่งต่อไปนี้ (a,b) โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 (a,b] โดยที่ -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1 [a,b) โดยที่ -1 < a < 0 < a² < b ≤ 1 แล้ว S ไม่ให้โครงสร้างของเซมิริงซึ่งสลับที่ได้ภายใต้การบวกและมีศูนย์

Other Abstract (Other language abstract of ETD)

A semigroup S is said to admit the structure of an additively commutative semiring with zero or to admit the structure of an AC semiring with zero if there exists an operation + on the semigroup S⁰ such that (S⁰, +, ) is an additively commutative semiring with zero where is the operation on S⁰, S⁰ = S if S has a zero and if S has no zero, let S⁰ be S with a zero adjoined. There are two main purposes in this thesis. The first one is to characterize well-known transformation semigroup which admit the structure of an AC semiring with zero. The second one is to characterize all multiplicative interval semigroups in IR which admit such a structure. The main results are as follow : Theorem 1. Let X be a set and let S be one of the following transfor-mation semigroups : (i) the symmetric group on X, (ii) the semigroup of all 1-1 transformations of X, (iii) the semigroup of all onto transformations of X. Then S admits the structure of an AC semiring with zero if and only if IXI ≤ 2. Theorem 2. The partial transformation semigroup on a set X admits the structure of an AC semiring with zero if and only if IXI ≤ 1. Theorem 3. The full transformation semigroup on a set X admits the structure of an AC semiring with zero if and only if lXl ≤ 1. Theorem 4. The symmetric inverse semigroup on a set X admits the structure of an AC semiring with zero if and only if lXl ≤ 1. Theorem 5. For any set X, the semigroup of all almost identical partial transformations of X admits the structure of an AC semiring with zero if and only if lXl ≤1. Theorem 6. For any set X, the semigroup of all almost identical transformations of X admits the structure of an AC semiring with zero if and only if lXl ≤ 1. Theorem 7. For any set X, the semigroup of all almost identical 1-1 partial transformations of X admits the structure of an AC semiring with zero if and only if lXl ≤ 1. Theorem 8. If S is a multiplicative interval semigroup in IR, then S admits the structure of an AC semiring with zero if and only if S is one of the following types : R | {0} | {1} | (0, ∞) | [0, ∞) | (a, ∞) ,[a, ∞) where a ≥1 | (0,b) | (0,b] | [0,b) | [0,b] where 0 < b ≤ 1. Theorem 8 is obtained by the following lemmas : Lemma 1. A subset S of IR is a multiplicative interval semigroup in IR if and only if S in one of the following types : IR | (2) {0} | (3) {1} | (4) (0, ∞) | (5) [0, ∞) | (6) (a, ∞) where a ≥ 1, (7) [a, ∞) where a ≥ 1, (8) (0,b)where 0 < b ≤ 1, (9) (0,b] where 0 < b ≤ 1, (10) [0,b) where 0 < b ≤ 1, (11) [0,b] where 0 < b ≤ 1, (12) (a,b) where -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1, (13) (a,b] where -1 ≤ a < 0 < a² < b ≤ 1, (14) [a,b) where -1 < a < 0 < a² < b ≤ 1, (15) [a,b] where -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1. Lemma 2. Every multiplicative semigroup of nonnegative real numbers admits the structure of an AC semiring with zero. Lemma 3. A multiplicative interval semigroup in IR of the form [a,1}, where -1 ≤ a < 0 < a² ≤ 1, does not admit the structure of an AC semiring with zero. Lemma 4. A multiplicative interval semigroup in IR of the form [a,b], where -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1, does not admit the structure of an AC semiring with zero. Lemma 5. If S is a multiplicative interval semigroup in IR of one of the following forms : (a,b) where -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1, (a,b] where -1 ≤ a < 0 < a² ≤ b ≤ 1, [a,b) where -1 < a < 0 < a² < b ≤ 1, then S does not admit the structure of an AC semiring with zero.

Link to Full Text

Share

COinS